○위상수학

위상공간은 집합과 그 위에 정의된 열린 집합들의 모임(위상)으로 이루어진 구조입니다. 연속성, 수렴, 연결성 등을 정의할 수 있게 합니다.

위상공간 사이의 함수 f: X → Y가 연속이라는 것은 Y의 모든 열린집합의 역상이 X에서 열린집합인 것입니다.

위상동형사상은 연속이고 역함수도 연속인 전단사 함수입니다. 위상동형인 공간은 위상적으로 같은 것으로 봅니다.

위상공간이 컴팩트하다는 것은 모든 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가진다는 것입니다. ℝⁿ에서는 닫혀 있고 유계인 것과 동치입니다.

위상공간이 연결되었다는 것은 두 개의 서로소인 비어있지 않은 열린집합으로 분리될 수 없다는 것입니다.

오일러 지표는 위상공간의 위상불변량으로, 다면체의 경우 꼭짓점 - 모서리 + 면으로 계산됩니다.

거리공간은 두 점 사이의 거리를 정의하는 함수(거리함수)가 주어진 집합입니다. 위상공간의 특별한 경우입니다.

다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상공간입니다. 미분다양체는 부드러운 구조를 추가로 가집니다.

기본군 π₁(X)는 공간 X의 점에서 시작하고 끝나는 루프(닫힌 경로)들의 호모토피 동치류로 이루어진 군입니다.

호모토피는 두 연속함수 사이의 연속적인 변형입니다. 호모토피 동치인 공간은 위상적으로 '같은 모양'입니다.

공간의 루프들을 호모토피 동치류로 분류한 군입니다. 공간의 1차원적 구멍 구조를 인코딩합니다.

공간의 n차원 구멍을 측정하는 아벨 군입니다. 경계가 없는 사이클과 경계인 사이클의 몫으로 정의됩니다.

호몰로지의 쌍대 개념으로, 곱 구조(컵곱)를 가집니다. 미분 형식과 드람 코호몰로지와 연결됩니다.

n차원 구의 공간으로의 사상을 호모토피 동치류로 분류한 군입니다. n≥2일 때 아벨 군이 됩니다.

각 점의 균등 피복 근방이 존재하는 연속 전사입니다. 기본군의 부분군과 일대일 대응합니다.

각 사상의 상이 다음 사상의 핵과 같은 군 준동형의 열입니다. 짧은 완전열과 긴 완전열이 중요합니다.

셀을 차원별로 부착하여 만든 위상 공간입니다. 대수적 위상수학에서 공간을 다루는 표준적 방법입니다.

공간의 위상적 불변량으로, 베티 수의 교대합입니다. 다면체에서는 V-E+F로 계산됩니다.